3.165 \(\int (c+d x)^3 \cos ^2(a+b x) \cot (a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=246 \[ \frac{3 d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4}+\frac{3 d^2 (c+d x) \sin ^2(a+b x)}{4 b^3}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sin (a+b x) \cos (a+b x)}{4 b^2}+\frac{3 d^3 \sin (a+b x) \cos (a+b x)}{8 b^4}+\frac{(c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{(c+d x)^3 \sin ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{3 d^3 x}{8 b^3}+\frac{(c+d x)^3}{4 b}-\frac{i (c+d x)^4}{4 d} \]

[Out]

(-3*d^3*x)/(8*b^3) + (c + d*x)^3/(4*b) - ((I/4)*(c + d*x)^4)/d + ((c + d*x)^3*Log[1 - E^((2*I)*(a + b*x))])/b
- (((3*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^2 + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^((2*I)*(a + b*
x))])/(2*b^3) + (((3*I)/4)*d^3*PolyLog[4, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^4 + (3*d^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(8*b^4
) - (3*d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(4*b^2) + (3*d^2*(c + d*x)*Sin[a + b*x]^2)/(4*b^3) - ((c + d*x
)^3*Sin[a + b*x]^2)/(2*b)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.278089, antiderivative size = 246, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 12, number of rules used = 12, integrand size = 22, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.546, Rules used = {4408, 4404, 3311, 32, 2635, 8, 3717, 2190, 2531, 6609, 2282, 6589} \[ \frac{3 d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4}+\frac{3 d^2 (c+d x) \sin ^2(a+b x)}{4 b^3}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sin (a+b x) \cos (a+b x)}{4 b^2}+\frac{3 d^3 \sin (a+b x) \cos (a+b x)}{8 b^4}+\frac{(c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{(c+d x)^3 \sin ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{3 d^3 x}{8 b^3}+\frac{(c+d x)^3}{4 b}-\frac{i (c+d x)^4}{4 d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]^2*Cot[a + b*x],x]

[Out]

(-3*d^3*x)/(8*b^3) + (c + d*x)^3/(4*b) - ((I/4)*(c + d*x)^4)/d + ((c + d*x)^3*Log[1 - E^((2*I)*(a + b*x))])/b
- (((3*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^2 + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^((2*I)*(a + b*
x))])/(2*b^3) + (((3*I)/4)*d^3*PolyLog[4, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^4 + (3*d^3*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(8*b^4
) - (3*d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x]*Sin[a + b*x])/(4*b^2) + (3*d^2*(c + d*x)*Sin[a + b*x]^2)/(4*b^3) - ((c + d*x
)^3*Sin[a + b*x]^2)/(2*b)

Rule 4408

Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Int[
(c + d*x)^m*Cos[a + b*x]^n*Cot[a + b*x]^(p - 2), x] + Int[(c + d*x)^m*Cos[a + b*x]^(n - 2)*Cot[a + b*x]^p, x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

Rule 4404

Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Simp[((c +
d*x)^m*Sin[a + b*x]^(n + 1))/(b*(n + 1)), x] - Dist[(d*m)/(b*(n + 1)), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Sin[a + b*x]^(n +
1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && IGtQ[m, 0] && NeQ[n, -1]

Rule 3311

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_)*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(d*m*(c + d*x)^(m - 1)*(
b*Sin[e + f*x])^n)/(f^2*n^2), x] + (Dist[(b^2*(n - 1))/n, Int[(c + d*x)^m*(b*Sin[e + f*x])^(n - 2), x], x] - D
ist[(d^2*m*(m - 1))/(f^2*n^2), Int[(c + d*x)^(m - 2)*(b*Sin[e + f*x])^n, x], x] - Simp[(b*(c + d*x)^m*Cos[e +
f*x]*(b*Sin[e + f*x])^(n - 1))/(f*n), x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n, 1] && GtQ[m, 1]

Rule 32

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)^(m + 1)/(b*(m + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, m}, x] && N
eQ[m, -1]

Rule 2635

Int[((b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> -Simp[(b*Cos[c + d*x]*(b*Sin[c + d*x])^(n - 1))/(d*n),
x] + Dist[(b^2*(n - 1))/n, Int[(b*Sin[c + d*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && GtQ[n, 1] && Integer
Q[2*n]

Rule 8

Int[a_, x_Symbol] :> Simp[a*x, x] /; FreeQ[a, x]

Rule 3717

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*tan[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(I*(c + d*x)^(m + 1))/(d*
(m + 1)), x] - Dist[2*I, Int[((c + d*x)^m*E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(e + f*x)))/(1 + E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(e + f*x)))
, x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IntegerQ[4*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps

\begin{align*} \int (c+d x)^3 \cos ^2(a+b x) \cot (a+b x) \, dx &=\int (c+d x)^3 \cot (a+b x) \, dx-\int (c+d x)^3 \cos (a+b x) \sin (a+b x) \, dx\\ &=-\frac{i (c+d x)^4}{4 d}-\frac{(c+d x)^3 \sin ^2(a+b x)}{2 b}-2 i \int \frac{e^{2 i (a+b x)} (c+d x)^3}{1-e^{2 i (a+b x)}} \, dx+\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \sin ^2(a+b x) \, dx}{2 b}\\ &=-\frac{i (c+d x)^4}{4 d}+\frac{(c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{3 d (c+d x)^2 \cos (a+b x) \sin (a+b x)}{4 b^2}+\frac{3 d^2 (c+d x) \sin ^2(a+b x)}{4 b^3}-\frac{(c+d x)^3 \sin ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \, dx}{4 b}-\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{b}-\frac{\left (3 d^3\right ) \int \sin ^2(a+b x) \, dx}{4 b^3}\\ &=\frac{(c+d x)^3}{4 b}-\frac{i (c+d x)^4}{4 d}+\frac{(c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}+\frac{3 d^3 \cos (a+b x) \sin (a+b x)}{8 b^4}-\frac{3 d (c+d x)^2 \cos (a+b x) \sin (a+b x)}{4 b^2}+\frac{3 d^2 (c+d x) \sin ^2(a+b x)}{4 b^3}-\frac{(c+d x)^3 \sin ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{\left (3 i d^2\right ) \int (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (3 d^3\right ) \int 1 \, dx}{8 b^3}\\ &=-\frac{3 d^3 x}{8 b^3}+\frac{(c+d x)^3}{4 b}-\frac{i (c+d x)^4}{4 d}+\frac{(c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}+\frac{3 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac{3 d^3 \cos (a+b x) \sin (a+b x)}{8 b^4}-\frac{3 d (c+d x)^2 \cos (a+b x) \sin (a+b x)}{4 b^2}+\frac{3 d^2 (c+d x) \sin ^2(a+b x)}{4 b^3}-\frac{(c+d x)^3 \sin ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{\left (3 d^3\right ) \int \text{Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{2 b^3}\\ &=-\frac{3 d^3 x}{8 b^3}+\frac{(c+d x)^3}{4 b}-\frac{i (c+d x)^4}{4 d}+\frac{(c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}+\frac{3 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac{3 d^3 \cos (a+b x) \sin (a+b x)}{8 b^4}-\frac{3 d (c+d x)^2 \cos (a+b x) \sin (a+b x)}{4 b^2}+\frac{3 d^2 (c+d x) \sin ^2(a+b x)}{4 b^3}-\frac{(c+d x)^3 \sin ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{\left (3 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(x)}{x} \, dx,x,e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4}\\ &=-\frac{3 d^3 x}{8 b^3}+\frac{(c+d x)^3}{4 b}-\frac{i (c+d x)^4}{4 d}+\frac{(c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}+\frac{3 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac{3 i d^3 \text{Li}_4\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4}+\frac{3 d^3 \cos (a+b x) \sin (a+b x)}{8 b^4}-\frac{3 d (c+d x)^2 \cos (a+b x) \sin (a+b x)}{4 b^2}+\frac{3 d^2 (c+d x) \sin ^2(a+b x)}{4 b^3}-\frac{(c+d x)^3 \sin ^2(a+b x)}{2 b}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 6.40242, size = 1918, normalized size = 7.8 \[ \text{result too large to display} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]^2*Cot[a + b*x],x]

[Out]

-(c*d^2*E^(I*a)*Csc[a]*((2*b^3*x^3)/E^((2*I)*a) + (3*I)*b^2*(1 - E^((-2*I)*a))*x^2*Log[1 - E^((-I)*(a + b*x))]
+ (3*I)*b^2*(1 - E^((-2*I)*a))*x^2*Log[1 + E^((-I)*(a + b*x))] - (6*(-1 + E^((2*I)*a))*(b*x*PolyLog[2, -E^((-
I)*(a + b*x))] - I*PolyLog[3, -E^((-I)*(a + b*x))]))/E^((2*I)*a) - (6*(-1 + E^((2*I)*a))*(b*x*PolyLog[2, E^((-
I)*(a + b*x))] - I*PolyLog[3, E^((-I)*(a + b*x))]))/E^((2*I)*a)))/(2*b^3) - (d^3*E^(I*a)*Csc[a]*((b^4*x^4)/E^(
(2*I)*a) + (2*I)*b^3*(1 - E^((-2*I)*a))*x^3*Log[1 - E^((-I)*(a + b*x))] + (2*I)*b^3*(1 - E^((-2*I)*a))*x^3*Log
[1 + E^((-I)*(a + b*x))] - (6*(-1 + E^((2*I)*a))*(b^2*x^2*PolyLog[2, -E^((-I)*(a + b*x))] - (2*I)*b*x*PolyLog[
3, -E^((-I)*(a + b*x))] - 2*PolyLog[4, -E^((-I)*(a + b*x))]))/E^((2*I)*a) - (6*(-1 + E^((2*I)*a))*(b^2*x^2*Pol
yLog[2, E^((-I)*(a + b*x))] - (2*I)*b*x*PolyLog[3, E^((-I)*(a + b*x))] - 2*PolyLog[4, E^((-I)*(a + b*x))]))/E^
((2*I)*a)))/(4*b^4) + (c^3*Csc[a]*(-(b*x*Cos[a]) + Log[Cos[b*x]*Sin[a] + Cos[a]*Sin[b*x]]*Sin[a]))/(b*(Cos[a]^
2 + Sin[a]^2)) + Csc[a]*(Cos[2*a + 2*b*x]/(64*b^4) - ((I/64)*Sin[2*a + 2*b*x])/b^4)*(32*b^4*c^3*x*Cos[a + 2*b*
x] + 48*b^4*c^2*d*x^2*Cos[a + 2*b*x] + 32*b^4*c*d^2*x^3*Cos[a + 2*b*x] + 8*b^4*d^3*x^4*Cos[a + 2*b*x] + 32*b^4
*c^3*x*Cos[3*a + 2*b*x] + 48*b^4*c^2*d*x^2*Cos[3*a + 2*b*x] + 32*b^4*c*d^2*x^3*Cos[3*a + 2*b*x] + 8*b^4*d^3*x^
4*Cos[3*a + 2*b*x] + (4*I)*b^3*c^3*Cos[3*a + 4*b*x] - 6*b^2*c^2*d*Cos[3*a + 4*b*x] - (6*I)*b*c*d^2*Cos[3*a + 4
*b*x] + 3*d^3*Cos[3*a + 4*b*x] + (12*I)*b^3*c^2*d*x*Cos[3*a + 4*b*x] - 12*b^2*c*d^2*x*Cos[3*a + 4*b*x] - (6*I)
*b*d^3*x*Cos[3*a + 4*b*x] + (12*I)*b^3*c*d^2*x^2*Cos[3*a + 4*b*x] - 6*b^2*d^3*x^2*Cos[3*a + 4*b*x] + (4*I)*b^3
*d^3*x^3*Cos[3*a + 4*b*x] - (4*I)*b^3*c^3*Cos[5*a + 4*b*x] + 6*b^2*c^2*d*Cos[5*a + 4*b*x] + (6*I)*b*c*d^2*Cos[
5*a + 4*b*x] - 3*d^3*Cos[5*a + 4*b*x] - (12*I)*b^3*c^2*d*x*Cos[5*a + 4*b*x] + 12*b^2*c*d^2*x*Cos[5*a + 4*b*x]
+ (6*I)*b*d^3*x*Cos[5*a + 4*b*x] - (12*I)*b^3*c*d^2*x^2*Cos[5*a + 4*b*x] + 6*b^2*d^3*x^2*Cos[5*a + 4*b*x] - (4
*I)*b^3*d^3*x^3*Cos[5*a + 4*b*x] + 8*b^3*c^3*Sin[a] - (12*I)*b^2*c^2*d*Sin[a] - 12*b*c*d^2*Sin[a] + (6*I)*d^3*
Sin[a] + 24*b^3*c^2*d*x*Sin[a] - (24*I)*b^2*c*d^2*x*Sin[a] - 12*b*d^3*x*Sin[a] + 24*b^3*c*d^2*x^2*Sin[a] - (12
*I)*b^2*d^3*x^2*Sin[a] + 8*b^3*d^3*x^3*Sin[a] + (32*I)*b^4*c^3*x*Sin[a + 2*b*x] + (48*I)*b^4*c^2*d*x^2*Sin[a +
2*b*x] + (32*I)*b^4*c*d^2*x^3*Sin[a + 2*b*x] + (8*I)*b^4*d^3*x^4*Sin[a + 2*b*x] + (32*I)*b^4*c^3*x*Sin[3*a +
2*b*x] + (48*I)*b^4*c^2*d*x^2*Sin[3*a + 2*b*x] + (32*I)*b^4*c*d^2*x^3*Sin[3*a + 2*b*x] + (8*I)*b^4*d^3*x^4*Sin
[3*a + 2*b*x] - 4*b^3*c^3*Sin[3*a + 4*b*x] - (6*I)*b^2*c^2*d*Sin[3*a + 4*b*x] + 6*b*c*d^2*Sin[3*a + 4*b*x] + (
3*I)*d^3*Sin[3*a + 4*b*x] - 12*b^3*c^2*d*x*Sin[3*a + 4*b*x] - (12*I)*b^2*c*d^2*x*Sin[3*a + 4*b*x] + 6*b*d^3*x*
Sin[3*a + 4*b*x] - 12*b^3*c*d^2*x^2*Sin[3*a + 4*b*x] - (6*I)*b^2*d^3*x^2*Sin[3*a + 4*b*x] - 4*b^3*d^3*x^3*Sin[
3*a + 4*b*x] + 4*b^3*c^3*Sin[5*a + 4*b*x] + (6*I)*b^2*c^2*d*Sin[5*a + 4*b*x] - 6*b*c*d^2*Sin[5*a + 4*b*x] - (3
*I)*d^3*Sin[5*a + 4*b*x] + 12*b^3*c^2*d*x*Sin[5*a + 4*b*x] + (12*I)*b^2*c*d^2*x*Sin[5*a + 4*b*x] - 6*b*d^3*x*S
in[5*a + 4*b*x] + 12*b^3*c*d^2*x^2*Sin[5*a + 4*b*x] + (6*I)*b^2*d^3*x^2*Sin[5*a + 4*b*x] + 4*b^3*d^3*x^3*Sin[5
*a + 4*b*x]) - (3*c^2*d*Csc[a]*Sec[a]*(b^2*E^(I*ArcTan[Tan[a]])*x^2 + ((I*b*x*(-Pi + 2*ArcTan[Tan[a]]) - Pi*Lo
g[1 + E^((-2*I)*b*x)] - 2*(b*x + ArcTan[Tan[a]])*Log[1 - E^((2*I)*(b*x + ArcTan[Tan[a]]))] + Pi*Log[Cos[b*x]]
+ 2*ArcTan[Tan[a]]*Log[Sin[b*x + ArcTan[Tan[a]]]] + I*PolyLog[2, E^((2*I)*(b*x + ArcTan[Tan[a]]))])*Tan[a])/Sq
rt[1 + Tan[a]^2]))/(2*b^2*Sqrt[Sec[a]^2*(Cos[a]^2 + Sin[a]^2)])

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.438, size = 1001, normalized size = 4.1 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^3*cos(b*x+a)^2*cot(b*x+a),x)

[Out]

3/b*c*d^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^2+3/b*c*d^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^2-3*I/b^2*c^2*d*a^2+4*I/b^3*c*d^2*a^3-2*I/
b^3*d^3*a^3*x-3*I/b^2*d^3*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x^2-3*I/b^2*d^3*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x^2-3*I/b^2*c^2
*d*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))-3*I/b^2*c^2*d*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))+6*I*d^3*polylog(4,exp(I*(b*x+a)))/b^4+1/
b*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^3+1/b^4*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^3+1/b*d^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^3-6/b^3*c*d^2
*a^2*ln(exp(I*(b*x+a)))+3/b^3*c*d^2*a^2*ln(exp(I*(b*x+a))-1)+6/b^2*c^2*d*a*ln(exp(I*(b*x+a)))-3/b^2*c^2*d*a*ln
(exp(I*(b*x+a))-1)-3/b^3*c*d^2*a^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))+3/b*c^2*d*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x+3/b*c^2*d*ln(1-exp(I*
(b*x+a)))*x+3/b^2*c^2*d*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a+I*c^3*x-I*c*d^2*x^3-3/2*I*c^2*d*x^2+6/b^3*d^3*polylog(3,exp(I*(
b*x+a)))*x+6/b^3*d^3*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))*x+6/b^3*c*d^2*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))+6/b^3*c*d^2*polylog(3,
-exp(I*(b*x+a)))+2/b^4*d^3*a^3*ln(exp(I*(b*x+a)))-1/b^4*d^3*a^3*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-3/2*I/b^4*d^3*a^4+6*I/b^4
*d^3*polylog(4,-exp(I*(b*x+a)))-6*I/b*c^2*d*a*x+6*I/b^2*c*d^2*a^2*x-6*I/b^2*c*d^2*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x-
6*I/b^2*c*d^2*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x+1/32*(4*d^3*x^3*b^3+6*I*b^2*d^3*x^2+12*b^3*c*d^2*x^2+12*I*b^2*c*d^2
*x+12*b^3*c^2*d*x+6*I*b^2*c^2*d+4*b^3*c^3-6*b*d^3*x-3*I*d^3-6*c*d^2*b)/b^4*exp(2*I*(b*x+a))-2/b*c^3*ln(exp(I*(
b*x+a)))+1/b*c^3*ln(exp(I*(b*x+a))-1)+1/b*c^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)-1/4*I*d^3*x^4+1/32*(4*d^3*x^3*b^3-6*I*b^2*d
^3*x^2+12*b^3*c*d^2*x^2-12*I*b^2*c*d^2*x+12*b^3*c^2*d*x-6*I*b^2*c^2*d+4*b^3*c^3-6*b*d^3*x+3*I*d^3-6*c*d^2*b)/b
^4*exp(-2*I*(b*x+a))

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 2.01961, size = 1305, normalized size = 5.3 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*cos(b*x+a)^2*cot(b*x+a),x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/16*(8*(sin(b*x + a)^2 - log(sin(b*x + a)^2))*c^3 - 24*(sin(b*x + a)^2 - log(sin(b*x + a)^2))*a*c^2*d/b + 24
*(sin(b*x + a)^2 - log(sin(b*x + a)^2))*a^2*c*d^2/b^2 - 8*(sin(b*x + a)^2 - log(sin(b*x + a)^2))*a^3*d^3/b^3 -
(-4*I*(b*x + a)^4*d^3 + (-16*I*b*c*d^2 + 16*I*a*d^3)*(b*x + a)^3 + 96*I*d^3*polylog(4, -e^(I*b*x + I*a)) + 96
*I*d^3*polylog(4, e^(I*b*x + I*a)) + (-24*I*b^2*c^2*d + 48*I*a*b*c*d^2 - 24*I*a^2*d^3)*(b*x + a)^2 + (16*I*(b*
x + a)^3*d^3 + (48*I*b*c*d^2 - 48*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (48*I*b^2*c^2*d - 96*I*a*b*c*d^2 + 48*I*a^2*d^3)*(b*x
+ a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) + 1) + (-16*I*(b*x + a)^3*d^3 + (-48*I*b*c*d^2 + 48*I*a*d^3)*(b*x +
a)^2 + (-48*I*b^2*c^2*d + 96*I*a*b*c*d^2 - 48*I*a^2*d^3)*(b*x + a))*arctan2(sin(b*x + a), -cos(b*x + a) + 1) +
2*(2*(b*x + a)^3*d^3 - 3*b*c*d^2 + 3*a*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(2*b^2*c^2*d - 4*a*b*c*d^2 +
(2*a^2 - 1)*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (-48*I*b^2*c^2*d + 96*I*a*b*c*d^2 - 48*I*(b*x + a)^2*d^3 - 48*
I*a^2*d^3 + (-96*I*b*c*d^2 + 96*I*a*d^3)*(b*x + a))*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) + (-48*I*b^2*c^2*d + 96*I*a*b*c*d^
2 - 48*I*(b*x + a)^2*d^3 - 48*I*a^2*d^3 + (-96*I*b*c*d^2 + 96*I*a*d^3)*(b*x + a))*dilog(e^(I*b*x + I*a)) + 8*(
(b*x + a)^3*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a))*log(cos(b
*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) + 8*((b*x + a)^3*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b
^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) + 96*(b
*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*polylog(3, -e^(I*b*x + I*a)) + 96*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*polylog(3,
e^(I*b*x + I*a)) - 3*(2*b^2*c^2*d - 4*a*b*c*d^2 + 2*(b*x + a)^2*d^3 + (2*a^2 - 1)*d^3 + 4*(b*c*d^2 - a*d^3)*(
b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))/b^3)/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 0.825092, size = 2437, normalized size = 9.91 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*cos(b*x+a)^2*cot(b*x+a),x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/8*(2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2 - 24*I*d^3*polylog(4, cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) + 24*I*d^3*polylog(
4, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) + 24*I*d^3*polylog(4, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 24*I*d^3*polylog(4,
-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - 2*(2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2 + 2*b^3*c^3 - 3*b*c*d^2 + 3*(2*b^3*c^2*d
- b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2 + 3*(2*b^2*d^3*x^2 + 4*b^2*c*d^2*x + 2*b^2*c^2*d - d^3)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) +
3*(2*b^3*c^2*d - b*d^3)*x - (-12*I*b^2*d^3*x^2 - 24*I*b^2*c*d^2*x - 12*I*b^2*c^2*d)*dilog(cos(b*x + a) + I*si
n(b*x + a)) - (12*I*b^2*d^3*x^2 + 24*I*b^2*c*d^2*x + 12*I*b^2*c^2*d)*dilog(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - (1
2*I*b^2*d^3*x^2 + 24*I*b^2*c*d^2*x + 12*I*b^2*c^2*d)*dilog(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - (-12*I*b^2*d^3*x^
2 - 24*I*b^2*c*d^2*x - 12*I*b^2*c^2*d)*dilog(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - 4*(b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^
2 + 3*b^3*c^2*d*x + b^3*c^3)*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1) - 4*(b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3
*c^2*d*x + b^3*c^3)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1) - 4*(b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + 3*a^2*b*c*d^2 - a^3*
d^3)*log(-1/2*cos(b*x + a) + 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) - 4*(b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + 3*a^2*b*c*d^2 - a^3*d^3)
*log(-1/2*cos(b*x + a) - 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) - 4*(b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3*c^2*d*x + 3*a*b^
2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3)*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1) - 4*(b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2
+ 3*b^3*c^2*d*x + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3)*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1) - 24*(b*d^3
*x + b*c*d^2)*polylog(3, cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 24*(b*d^3*x + b*c*d^2)*polylog(3, cos(b*x + a) - I*s
in(b*x + a)) - 24*(b*d^3*x + b*c*d^2)*polylog(3, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 24*(b*d^3*x + b*c*d^2)*poly
log(3, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)))/b^4

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (c + d x\right )^{3} \cos ^{2}{\left (a + b x \right )} \cot{\left (a + b x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**3*cos(b*x+a)**2*cot(b*x+a),x)

[Out]

Integral((c + d*x)**3*cos(a + b*x)**2*cot(a + b*x), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (d x + c\right )}^{3} \cos \left (b x + a\right )^{2} \cot \left (b x + a\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*cos(b*x+a)^2*cot(b*x+a),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^3*cos(b*x + a)^2*cot(b*x + a), x)